Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D、E分别为AA₁、B₁C的中点，DE⊥平面BCC₁，
(Ⅰ)证明：AB=AC；
(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°，求B₁C与平面BCD所成的角的大小．

Answer 1

(Ⅰ)证明：取BC中点F，连结EF，则，从而， 连结AF，则ADEF为平行四边形，从而AF∥DE， 又DE⊥平面BCC1， 故AF⊥平面BCC1， 从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC． (Ⅱ)解：作AG⊥BD，垂足为G，连结CG，由三垂线定理知CG⊥BD， 故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角， 由题设知，∠AGC=60°， 设AC=2，则， 又AB=2，BC=2，故AF=， 由得， 解得AD=，故AD=AF， 又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形， 因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A， 故BC⊥平面DEF， 因此平面BCD⊥平面DEF， 连结AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD， 连结CH，则∠ECH为B1C与平面BCD所成的角， 因ADEF为正方形，AD=，故EH=1， 又， 所以， 所以∠ECH=30°， 即B1C与平面BCD所成的角为30°。