Question

已知函数f（x）=mx³+nx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线3x+y=0平行．
（1）求函数f（x）在[-4，0]的值域；
（2）若f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，又根据f'（-1）=-3，f（-1）=2可得到关于m，n的值，代入函数f（x）可得f'（x），然后研究函数在[-4，0]上的单调性，从而可求出函数的值域；
（2）根据（1）求f'（x）＜0时x的取值区间，即为减区间，[t，t+1]为减区间的子集，从而解决问题．

解答：解：由已知条件得f'（x）=3mx²+2nx，
由f'（-1）=3，∴3m-2n=-3．
又f（-1）=2，∴-m+n=2，
∴m=1，n=3
∴f（x）=x³+3x²，∴f'（x）=3x²+6x．
（1）令f'（x）=3x²+6x=0解得x=0或x=-2
当x∈[-4，-2]时，f'（x）＞0，当x∈[-2，0]时，f'（x）＜0
∴f（x）_max=f（-2）=4，f（-4）=-64+48=-16，f（0）=0
∴函数f（x）在[-4，0]的值域为[-16，4]
（2）令f'（x）＜0，即x²+2x＜0，
函数f（x）的单调减区间是（-2，0）．
∵f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
则[t，t+1]?[-2，0]
∴实数t的取值范围是[-2，-1]．

点评：本题主要考查通过求函数的导数来求函数增减区间的问题、利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．