Question

以正方体的顶点为顶点所构成的四棱锥和四面体的个数之差的绝对值是

10

．

Answer 1

分析：要构成四棱锥，须有4个点共面，共6+6=12种情况，每一种情况都可构成4个四棱锥；要构成四面体，可先从正方体的八个顶点中任取4个，共有C₈⁴=70，去掉构不成四面体的6+6=12，可得共58种，作差即可．

解答：解：要构成四棱锥，须有4个点共面，这4个点可以在正方体的表面的4个顶点，也可以是对角面的4个顶点，共6+6=12种情况，每一种情况都可构成4个四棱锥，
故一共可构成48个四棱锥，
要构成四面体，可先从正方体的八个顶点中任取4个，共有C₈⁴=70，
其中有4点共面（构不成四面体）的取法有6+6=12，（6个表面，6个对角面），
故构成四面体的总数为：70-12=58，
故所求个数只差的绝对值为|48-58|=10，
故答案为：10

点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，涉及立体几何中的位置关系，属中档题．