Question

已知函数f（x）=（2+a）x+a²lnx（a∈R），g（x）=x²+2x
（1）设两曲线y=f（x）和y=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数a的值；
（2）若对任意x∈[1，e]，f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导数，利用两个函数在公共点处的切线相同，求a的值．
（2）利用二次函数的性质和导数的应用，求出两个函数的最值，利用最值之间的关系进行求a的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
函数f'（x）=2+a+

a2

x

，g'（x）=2x+2，因为在公共点处的切线相同，
所以由2+a+

a2

x

=2x+2，得2x²-ax-a²=0，解得x=a或x=-

a

2

．
当x=a时，由f（a）=g（a）得（2+a）a+a²lna=a²+2a，即a²lna=0，所以a=1．
当x=-

a

2

时，由f（a）=g（a）得（2+a）（-

a

2

）+a²ln（-

a

2

）=（-

a

2

）²+2（-

a

2

），
即ln（-

a

2

）=-

1

4

，所以a=-2e

1

4

．
（2）令h（x）=g（x）-f（x）=x²-ax-a²lnx，h'（x）=2x-a-

a2

x

=

2x2-ax-a2

x

=

(2x+a)(x-a)

x

，
当a＞0时①若0＜a≤1时 h'（x）≥0恒成立 只需h（1）＞0 成立，即1-a＞0，解得0＜a＜1．
②a≥e时，h'（x）≤0恒成立 只需h（e）＞0 而a²-ae+e²＞0对任意a均成立 即a≥e
③1＜a＜e时 令h'（x）=0 x=a时，h（x）取得极小值为-a²lna＞0，解得 a＜1 矛盾，舍去．
当a≤0时 ①0≤-

a

2

≤1时 h'（x）≥0恒成立 只需h（1）＞0 即-2≤a≤0
②-

a

2

≥e时 h'（x）≤0恒成立 只需h（e）＞0 即a≤-2e
③1＜-

a

2

≤e时 令h'（x）=0得 x=a时，h（x）取得极小值为-a²lna＞0，解得 a＜1，
即-2e＜a＜-2，综上a＜1或a≥e都成立

点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数与函数的单调性与最值之间的关系，考查学生的运算能力．综合性较强，难度较大．