Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3，…）
（1）求数列{a_n}通项公式a_n；
（2）设bn=

an

(an-1)(2an-1)

，数列{a_n}的前n项和为T_n，
求证：

2

3

≤T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）n=1时，a₁=2．由S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，知S_n-S_n-1=a_n，n≥2，n∈N^*，由此能导出an=2n．
（2）由bn=

an

(an-1)(2an-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，知Tn=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

7

)+(

1

7

-

1

15

)+…+(

1

2 n-1

-

1

2n+1-1

)
=1-

1

2n+1-1

．由此能够证明

2

3

≤Tn＜1．

解答：解：（1）n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，
∴a₁=2．
∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
∵S_n-S_n-1=a_n，n≥2，n∈N^*，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，
∴

an

an-1

=2，n≥2，n∈N^*，
即数列{a_n}是等比数列，首项a₁=2，公比q=2，
∴an=2n．
（2）∵bn=

an

(an-1)(2an-1)

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
∴Tn=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

7

)+(

1

7

-

1

15

)+…+(

1

2 n-1

-

1

2n+1-1

)
=1-

1

2n+1-1

．（10分）
∵n∈N^*，
∴0＜

1

2n+1-1

≤

1

3

，

2

3

≤Tn＜1．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求解和前n项和的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列与不等式的综合运用，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．