Question

已知函数f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取得极值．
（Ⅰ）求t的取值范围；
（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，求t的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）f'（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-3x²-9x+t+3）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵f（x）有三个极值点
∴x³-3x²-9x+t+3=0有三个根a、b、c．
令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，则g'（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
由g'（x）＞0可得x＜-1或x＞3；由g'（x）＜0可得-1＜x＜3；
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上递增，在（-1，3）上递减
∵g（x）有三个零点
∴g（-1）=t+8＞0，g（3）=t-24＜0
解得-8＜t＜24
（Ⅱ）∵a，b，c是方程x³-3x²-9x+t+3=0的三个根．
∴x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x³-（a+b+c）x²+（ab+ac+bc）x-abc
∴且a+c=2b
∵a+b+c=3，a+c=2b
∴b=1
∴
∴
∴
∴
∴t=8．
分析：（Ⅰ）根据公式求出函数的导数，根据导数求出函数的极值，根据极值判断根的个数，判断各个根是否大于零
（Ⅱ）根据a，b，c是方程x³-3x²-9x+t+3=0的三个根，可得x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x³-（a+b+c）x²+（ab+ac+bc）x-abc，从而可得且a+c=2b，由此可求t的值．
点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的零点，解题的关键是确定a，b，c是方程x³-3x²-9x+t+3=0的三个根