Question

函数f(x)=

1

x

+

2

x2

+

a

x3

；
（1）当a=1时，求y=f（x）在[-4，-

1

2

]上的最值；
（2）若a≥0，求f（x）的极值点．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，再确定函数的极值，再与端点比较，从而确定函数的最值；（2）先求导函数g/(x)=-

x2+4x+3a

x4

设u=x²+4x+3a，△=16-12a，对a进行讨论，从而确定函数的极值点．

解答：解：（1）f/(x)=-

(x+1)(x+3)

x4

x	-4	（-4，-3）	-3	（-3，-1）	-1	（-1，- 1 2 ）	- 1 2
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	- 9 64	减	极小值- 4 27	增	极大值0	减	-2

∴最大值为0，最小值-2
（2）g/(x)=-

x2+4x+3a

x4

设u=x²+4x+3a，△=16-12a
当a≥

4

3

时，△≤0，g′（x）≤0，所以y=g（x）没有极值点
当0＜a＜

4

3

时，x1=-2-

4-3a

，x2=-2+

4-3a

＜0
减区间：（-∞，x₁），（x₂，0），增区间：（x₁，x₂），∴有两个极值点x₁，x₂
当a=0时，g(x)=

1

x

+

2

x2

，g/(x)=-

x+4

x3

减区间：（-∞，-4），增区间：（-4，0）∴有一个极值点x=-4
综上所述：a=0时，∴有一个极值点x=-4；0＜a＜

4

3

时有两个极值点x₁，x₂；a≥

4

3

时没有极值点．

点评：本题只有考查利用导数求函数的最值及极值点，对于含参数问题应注意分类讨论．