Question

函数f（x）=x²+ax+3．
（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
（2）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对一切实数x恒成立，转化为二次函数恒为非负，利用根的判别式小于等于0即可．
（2）对于[-2，2]区间内的任意x恒成立，同样考虑二次函数，不过须分三种情况讨论（如图所示）：一种是对称轴在区间上；另外两情况是种是区间在对称轴的左或右，最后结合图象即可解决问题．

解答：解：（1）∵x∈R时，有x²+ax+3-a≥0恒成立，
须△=a²-4（3-a）≤0，即a²+4a-12≤0，所以-6≤a≤2．
（2）当x∈[-2，2]时，设g（x）=x²+ax+3-a≥0，
分如下三种情况讨论（如图所示）：
①如图（1），当g（x）的图象恒在x轴上方时，满足条件时，有△=a²-4（3-a）≤0，即-6≤a≤2．
②如图（2），g（x）的图象与x轴有交点，
但在x∈[-2，+∞）时，g（x）≥0，即

△≥0 x=- a 2 ≤-2 g(-2)≥0

即

a2-4(3-a)≥0 - a 2 ≤-2 4-2a+3-a≥0

?

a≥2或a≤-6 a≥4 a≤ 7 3

解之得a∈Φ．
③如图（3），g（x）的图象与x轴有交点，
但在x∈（-∞，2]时，g（x）≥0，即

△≥0 x=- a 2 ≥2 g(2)≥0

即

a2-4(3-a)≥0 - a 2 ≥2 4+2a+3-a≥0

?

a≥2或a≤-6 a≤-4 a≥-7

?-7≤a≤-6
综合①②③得a∈[-7，2]．

点评：本题主要了一元二次不等式恒成立的问题，注意（1）、（2）两问的不同点，都是利用了二次函数图象的特点数形结合解决问题的．