Question

3．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-2．
（1）求a₁，a₂，a₃并由此猜想a_n的通项公式；
（2）用数学归纳法证明{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）分别令n=1，2，3代入条件式解出a₁，a₂，a₃，根据前三项的特点猜想通项公式；
（2）先验证n=1时猜想成立，假设n=k时猜想成立，利用条件式推导a_k+1，得出n=k+1时猜想成立．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-2，
当n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
当n=2时，a₁+a₂=2a₂-2，解得a₂=4．
当n=3时，a₁+a₂+a₃=2a₃-2，解得a₃=8．
猜想：a_n=2ⁿ．
（2）当n=1时，显然猜想成立．
假设n=k时，猜想成立，即a_k=2^k．
则当n=k+1时，S_k+1=2a_k+1-2．
∴S_k+a_k+1=2a_k+1-2，
∴2a_k-2+a_k+1=2a_k+1-2，
∴a_k+1=2a_k=2•2^k=2^k+1．
∴当n=k+1时，猜想成立．
∴a_n=2ⁿ．

点评 本题考查了归纳推理与数学归纳法证明，属于中档题．