Question

14．已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-6sinθ，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t为参数）．若直线l与圆C相交于不同的两点P，Q．
（1）写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；
（2）若弦长|PQ|=4，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标化为直角坐标的方法，写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；
（2）若弦长|PQ|=4，所以$\frac{|2k+3-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，即可求直线l的斜率．

解答 解：（1）由ρ=4cosθ-6sinθ，得圆C的直角坐标方程x²+y²-4x+6y=0，
配方，得（x-2）²+（y+3）²=13，所以圆心为（2，-3），半径为$\sqrt{13}$…（5分）
（2）由直线l的参数方程知直线过定点M（4，0），则由题意，知直线l的斜率一定存在，
设直线l的方程为y=k（x-4），因为弦长|PQ|=4，所以$\frac{|2k+3-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，
解得k=0或k=-$\frac{12}{5}$…（10分）

点评 本题考查极坐标化为直角坐标的方法，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．