Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点分别是F₁，F₂，点M(1 ，

3

2

)在椭圆上，且|MF₁|+|MF₂|=4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+t（k≠0，t＞0）与椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1交于A，B两点，点P满足

AP

+

BP

=

0

，点Q的坐标是(0 ，

3

2

)，设直线PQ的斜率是k₁，且k₁•k=2，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用点M(1 ，

3

2

)在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，且|MF₁|+|MF₂|=4，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）联立方程组，利用韦达定理，及向量知识，结合k₁•k=2，建立不等式，即可求得实数t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为点M(1 ，

3

2

)在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，且|MF₁|+|MF₂|=4，
所以

1

a2

+

3

4b2

=1，2a=4．
所以a²=4，b²=1．
所以椭圆C的标准方程是

x2

4

+y2=1．…..（3分）
（Ⅱ）联立方程组

y=kx+t  x2 4 +y2=1

消去y，得（1+4k²）x²+8ktx+4（t²-1）=0．
所以△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）＞0，…..（4分）
即1+4k²＞t²．①…..（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x1+x2=

-8kt

1+4k2

．…..（6分）
因为

AP

+

BP

=

0

，所以点P是AB的中点，
设P（x_P，y_P），所以xp=

-4kt

1+4k2

，yp=kxP+t=

1

1+4k2

．…..（8分）
因为点Q的坐标是(0 ，

3

2

)，直线PQ的斜率是k₁，
所以k1=

yP- 3 2

xP

=

2t-3(1+4k2)

-8kt

．…..（10分）
因为k₁•k=2，所以k•

2t-3(1+4k2)

-8kt

=2．
所以1+4k²=6t．②…..（12分）
所以由①，②式，可得  6t＞t²且6t＞1．
所以1＜t＜6．
所以实数t的取值范围是1＜t＜6．…..（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．