Question

在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为10．

（1）求棱A₁A的长；

（2）若A₁C₁的中点为O₁，求异面直线BO₁与A₁D₁所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

考点：

异面直线及其所成的角．

专题：

计算题．

分析：

（1）先设出棱A₁A的长，求出长方体的体积和被截的几何体的体积，根据条件建立等量关系，求出所求；

（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，∠O₁BC即为异面直线BO₁与A₁D₁所成的角（或其补角），在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．

解答：

解：（1）设A₁A=h，由题设，

得，

即，解得h=3．

故A₁A的长为3．（6分）

（2）因为在长方体中A₁D₁∥BC，

所以∠O₁BC即为异面直线BO₁与A₁D₁所成的角（或其补角）．（8分）

在△O₁BC中，计算可得，

则∠O₁BC的余弦值为，

故异面直线BO₁与A₁D₁所成角的大小为．（14分）

点评：

本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及利用余弦定理进行解题等，属于基础题．