Question

已知正方形ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为a，P在AB上，且PB=2PA.

(1)求二面角A₁PCA的余弦值；

(2)求B₁到面A₁PC的距离.

Answer 1

答案：解法一：(1)如下图，延长CP与DA交于Q点，过A作AM⊥PQ，M为垂足，连结A₁M，

则A₁M⊥PQ，∴∠A₁MA为二面角A₁-PC-A的平面角.                           

依题意知：AP=a,BP=a，∴AQ=BC=a，

Rt△APQ斜边PQ上的高AM=，

Rt△A₁AM中，tan∠A₁MA=,∴cos∠A₁MA=.             

(2)设B₁到面A₁PC的距离为h，则由：.

可得·h=·BC，

易知：BC=a,，在Rt△PBC中，易求得PC=，

又由(1)知，A₁M=,

∴PC·A₁M=，

因此，a²·h=a²·a,∴h=a.                                    

解法二：以D为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系.

则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0).

A₁(a,0,a),B₁(a,a,a),C₁(0,a,a),D₁(0,0,a).

由PB=2PA知P(a,a,0).                                                       

(1)=(0,a,-a),=(-a,a,0).设平面A₁PC的法向量为n₁=(x，y，z)，

则由·n₁=ay-az=0.·n₁=-ax+ay=0.

设：x=y,z=y，

取y=3，得n₁=(2，3，1).

设n₂为平面ABCD的法向量，易知n₂=(0，0，1).

则cos〈n₁,n₂〉=,

∴二面角A₁PCA的余弦值为.                                            

(2)由(1)知平面A₁PC的法向量n₁=(2，3，1)，又A₁B₁=(0,a,0)，

∴B₁到平面A₁PC的距离d=|A₁B₁|·|cos〈n₁，〉|=||·.