Question

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=﹣1相切，点C在l上．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（Ⅱ）设过点P，且斜率为﹣的直线与曲线M相交于A，B两点．
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，
所以曲线M的方程为y²=4x．
（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为
由消y得3x²﹣10x+3=0，解得．
所以A点坐标为，B点坐标为（3，），．
假设存在点C（﹣1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，
即①②
由①﹣②得，
解得．但不符合①，所以由①，②组成的方程组无解．
因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形．
（ii）设C（﹣1，y）使△ABC成钝角三角形，
由得，
即当点C的坐标为（﹣1，）时，A，B，C三点共线，故．
又，，．
当|BC|²＞|AC|²+|AB|²，即，即时，∠CAB为钝角．
当|AC|²＞|BC|²+|AB|²，即，即时∠CBA为钝角．
又|AB|²＞|AC|²+|BC|²，即，即．
该不等式无解，
所以∠ACB不可能为钝角．
因此，当△ABC为钝角三角形时，
点C的纵坐标y的取值范围是或．