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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知函数f（x）=xk+b（常数k，b∈R）的图象过点（4，2）、（16，4）两点．
    （1）求f（x）的解析式；
    （2）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，若不等式g（x）+g（x-2）＞2ax+2恒成立，求实数a的取值范围；
    （3）若P1，P2，P3，…，Pn，…是函数f（x）图象上的点列，Q1，Q2，Q3，…，Qn，…是x正半轴上的点列，O为坐标原点，△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn-1QnPn，…是一系列正三角形，记它们的边长是a1，a2，a3，…，an，…，探求数列an的通项公式，并说明理由．
    （1）
    2=4k+b
    4=16k+b

    ?b=0，k=
    1
    2

    ?f(x)=
    		x

    （2）g（x）=x2（x≥0）
    g（x）+g（x-2）＞2ax+2
    ?
    x-2≥0
    x2+(x-2)2＞2ax+2

    原问题等价于a＜x+
    1
    x
    -2    在x∈[2，+∞）恒成立，
    利用函数y=x+
    1
    x
    -2    在区间[2，+∞）上为增函数，
    可得a＜
    1
    2
    ；
    （3）由
    y=
    		x
    y=
    		3
    x
    ?x=
    1
    3
    ?a1=
    2
    3
    ，
    由
    y=
    		x
    y=
    		3
    (x-Sn-1)
    ?
    		3
    x-
    		x
    -
    		3
    Sn-1=0?x=
    1+6Sn-1+
    		1+12Sn-1
    6
    ，
    将x代入an=2(x-Sn-1)=
    1
    3
    +
    1
    3
    		1+12Sn-1
    ，
    ∴(an-
    1
    3
    )2=
    1
    9
    •(1+12Sn-1)    且a1=
    2
    3
    ，
    又(an+1-
    1
    3
    )2=
    1
    9
    •(1+12Sn)    ，
    两式相减可得：(an+1-
    1
    3
    )2-(an-
    1
    3
    )2=
    4
    3
    an    ?(an+1-
    1
    3
    )2=(an+
    1
    3
    )2    ?(an+1+an)(an+1-an-
    2
    3
    )=0    ，
    又，因为an＞0，所以an+1-an-
    2
    3
    =0    ，
    从而an是以
    2
    3
    为首项，
    2
    3
    为公差的等差数列，即an=
    2n
    3
    ．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
    π
    2
    ）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
    A、f(x)=2sin(πx+
    π
    6
    )(x∈R)
    B、f(x)=2sin(2πx+
    π
    6
    )(x∈R)
    C、f(x)=2sin(πx+
    π
    3
    )(x∈R)
    D、f(x)=2sin(2πx+
    π
    3
    )(x∈R)

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•深圳一模）已知函数f(x)=
    1
    3
    x3+bx2+cx+d    ，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
    （1）求f（x）；
    （2）设g(x)=x
    		f′(x)
     ， m＞0    ，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
    （3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：上海模拟 题型：解答题

    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：深圳一模 题型：解答题

    已知函数f(x)=
    1
    3
    x3+bx2+cx+d    ，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
    （1）求f（x）；
    （2）设g(x)=x
    		f′(x)
     ， m＞0    ，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
    （3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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