Question

A₁，A₂分别是椭圆

x2

9

+

y2

4

=1的长轴的左、右端点，P₁、P₂是垂直于A₁A₂的弦的端点，则直线A₁P₁与A₂P₂交点的轨迹方程为

x2

9

-

y2

4

=1

．

Answer 1

分析：假设直线A₁P₁与A₂P₂交点为M．设M（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₁，-y₁），根据M、P₁、A₁三点共线，得到

y

x +3

=

y1

x1+3

，同理由M、P₂、A₂三点共线，得到

y

x -3

=

-y1

x1-3

．将两个等式左右两边对应相乘，并结合椭圆方程进行化简，即可得到直线A₁P₁与A₂P₂交点M的轨迹方程．

解答：解：根据题意，假设直线A₁P₁与A₂P₂交点为M．可得A₁（-3，0），A₂（3，0）
设M（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₁，-y₁），
∵点M在直线PA₁上，∴ kMA1= kA1P1，
可得

y -0

x +3

=

y1-0

x1+3

，即

y

x +3

=

y1

x1+3

…①
同理，由 kMA2= kA2P2得到

y

x -3

=

-y1

x1-3

…②
将①、②相乘，得

y 2

x 2-9

=

-y12

x12-9

…③
∵P₁（x₁，y₁）在椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上，
∴

x12

9

+

y12

4

=1，可得y12=4（1-

x12

9

）
代入③，得

y 2

x 2-9

=-

4(1- x12 9 )

x 12-9

=

4

9

，
化简整理得

x2

9

-

y2

4

=1，即为直线A₁P₁与A₂P₂交点M的轨迹方程
故答案为：

x2

9

-

y2

4

=1

点评：本题给出椭圆长轴的左、右端点A₁、A₂，垂直于长轴的弦为P₁P₂，求直线A₁P₁与A₂P₂交点M的轨迹方程．着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．