Question

（本小题满分12分）如图6，已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1。

   （1）求证：平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；

   （2）求证：A₁C//平面AB₁D；

   （3）求二面角B—AB₁—D的正切值。

Answer 1

（本小题满分12分）

    解法一：

    证明：（1）因为B₁B⊥平面ABC，AD平面ABC，

所以AD⊥B₁B    （1分）

因为D为正△ABC中BC的中点，

所以AD⊥BD    （2分）

又B₁B∩BC=B，

所以AD⊥平面B₁BCC₁   （3分）

又AD平面AB₁D，故平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁    （4分）

   （2）连接A₁B，交AB₁于E，连DE    （5分）

因为点E为矩形A₁ABB₁对角线的交点，所以E为AB₁的中点   （6分）

又D为BC的中点，所以DE为△A₁BC的中位线，

所以DE//A₁C    （7分）

又DE平面AB₁D，所以A₁C//平面AB₁D    （8分）

   （3）解：过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB₁于G，连接DG。

因为平面A₁ABB₁⊥平面ABC，DF⊥AB，所以DF⊥平面A₁ABB₁。

又AB₁平面A₁ABB₁，所以AB₁⊥DF。

又FG⊥AB₁，所以AB₁⊥平面DFG，所以AB₁⊥DG。   （9分）

又AB₁⊥FG，所以∠DGF为二面角B—AB₁—D的平面角。   （10分）

因为AA₁=AB=1，

所以在正△ABC中，

在   （11分）

所以在    （12分）

解法二：

解：建立如图所示的直角坐标系，依题意有：

   （1）证明：由，

得

又BC∩⊥BB₁=B，所以AD⊥平面B₁BCC₁。   （4分）

又AD平面AB₁D，所以平面AB₁D⊥B₁BCC₁    （5分）

   （2）证明：连接A₁B，交AB₁于E，连DE，

因为点E为正方形A₁ABB₁对角线的交点，所以E为AB₁的中点，

即    （6分）

又DE平面AB₁D，所以A₁C//平面AB₁D    （8分）

   （3）解：设平面ABB₁的一个法向量为

由    （9分）

设平面AB₁D的一个法向量为

由    （10分）

所以     （11分）

所以，

依图可得二面角B—AB₁—D的正切值为    （12分）