Question

已知

OA

=(3，-4)，

OB

=(6，-3)，

OC

=(5-m，-3-m)
（Ⅰ） 若点A，B，C不能构成三角形，求m的值；
（Ⅱ）若点A，B，C构成的三角形为直角三角形，求m的值．

Answer 1

分析：（I）将三点不能构成三角形转化为三点共线，再将三点共线转化为由三点为始点、终点的两个向量共线，利用向量共线的充要条件列出方程，求出m的值．
（II）三角形为直角三角形根据哪一个角是直角分三种情况讨论，利用向量垂直的充要条件列出方程，求出m的值．

解答：解：（I）若点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线
由

AB

=(3，1)，

AC

=(2-m，1-m)，
则有3(1-m)=2-m⇒m=

1

2

（Ⅱ）若点A，B，C构成的三角形为直角三角形，则
①若AB⊥AC，则有3(2-m)+(1-m)=0⇒m=

7

4

；
②若AB⊥BC，又

BC

=(-1-m，-m)，
则有3(-1-m)-m=0⇒m=-

3

4

③若AC⊥BC，则有（2-m）（-1-m）+（1-m）（-m）=0
解得m=

1± 5

2

∴m=

7

4

或m= -

3

4

或m=

1± 5

2

点评：解决三点共线问题常转化为以三点为始点、终点的两个向量共线，利用向量共线的充要条件找等量关系；解决直线垂直问题，常借助两个向量垂直的充要条件来找关系．