Question

已知直线y=kx-1与双曲线x²-y²=1的左支交于不同两点A、B，若另有一条直线l经过P（-2，0）及线段AB的中点Q．
（1）求k的取值范围；
（2）求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，得（1-k²）x²+2kx-2=0．再由直线y=kx-1与双曲线x²-y²=1的左支交于不同两点A、B，利用根的判别式和韦达定理能求出k的取值范围．
（2）由直线l经过P（-2，0）及线段AB的中点Q，知直线l的方程为得x-（2k²+k-2）y+2=0，令x=0，解得直线l在y轴上的截距b=．设f（k）=2k²+k-2=2（k+）²-，由此能求出直线l在y轴上的截距b的取值范围．
解答：（本小题满分12分）
解：（1）由，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
直线y=kx-1与双曲线x²-y²=1的左支交于不同两点A、B，
∴，解得-＜k＜-1．
∴k的取值范围是（-，-1）．（6分）
（2）∵直线l经过P（-2，0）及线段AB的中点Q，
设Q（x，y），∴，
∴直线l的方程为：，整理，得x-（2k²+k-2）y+2=0，
令x=0，解得直线l在y轴上的截距b=．
设f（k）=2k²+k-2=2（k+）²-，
则f（k）在（-，-1）上是减函数，
∴f（-1），且f（k）≠0，
∴-1＜f（k）＜2-，且f（k）≠0，
∴b＜-2，或b＞2+，
故直线l在y轴上的截距b的取值范围是（-∞，-2）∪（2+，+∞）…12分
点评：本题考查直线的斜率的取值范围的求法，考查直线纵截距的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．