Question

在数列{a_n}中，若a_n²﹣a_n﹣1²=p（n≥2，n∈N^*，p为常数），则称{a_n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；

①若{a_n}是等方差数列，则{a_n²}是等差数列；

②{（﹣1）ⁿ}是等方差数列；

③若{a_n}是等方差数列，则{a_kn}（k∈N^*，k为常数）也是等方差数列；

④若{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．

其中正确命题序号为（　　）

A．

①②③

B．

①②④

C．

①②③④

D．

②③④

Answer 1

解：①∵{a_n}是等方差数列，∴a_n²﹣a_n﹣1²=p（p为常数）得到{a_n²}为首项是a₁²，公差为p的等差数列；

∴{a_n²}是等差数列；

②数列{（﹣1）ⁿ}中，a_n²﹣a_n﹣1²=[（﹣1）ⁿ]²﹣[（﹣1）^n﹣1]²=0，

∴{（﹣1）ⁿ}是等方差数列；故②正确；

③数列{a_n}中的项列举出来是，a₁，a₂，…，a_k，…，a_2k，…

数列{a_kn}中的项列举出来是，a_k，a_2k，…，a_3k，…，

∵（a_k+1²﹣a_k²）=（a_k+2²﹣a_k+1²）=（a_k+3²﹣a_k+2²）=…=（a_2k²﹣a_2k﹣1²）=p

∴（a_k+1²﹣a_k²）+（a_k+2²﹣a_k+1²）+（a_k+3²﹣a_k+2²）+…+（a_2k²﹣a_2k﹣1²）=kp

∴（a_kn+1²﹣a_kn²）=kp

∴{a_kn}（k∈N^*，k为常数）是等方差数列；故③正确；