Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|-|x+1|．
（Ⅰ）求证：-3≤f（x）≤3；
（Ⅱ）解不等式f（x）≥x²-2x．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）=|x-2|-|x+1|=

3 ，(x≤-1) -2x+1，(-1＜x＜2) -3 ，(x＞2)

，可得-3≤f（x）≤3．
（2）分 x≤-1、-1＜x＜2、x≥2三种情况分别求出不等式的解集，再取并集即得所求．

解答：解：（1）函数f（x）=|x-2|-|x+1|=

3 ，(x≤-1) -2x+1，(-1＜x＜2) -3 ，(x＞2)

，------（3分）
又当-1＜x＜2时，-3＜-2x+1＜3，
∴-3≤f（x）≤3．---------（5分）
（2）当x≤-1时，不等式为  x²-2x≤3，∴-1≤x≤2，即x=-1；
当-1＜x＜2时，不等式为 x²-2x≤-2x+1，解得-1≤x≤1，即-1＜x≤1；
当x≥2时，不等式为 x²-2x≤-3，∴x∈∅．----------（8分）
综合上述，不等式的解集为：[-1，1]．-------（10分）

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．