Question

已知函数f（x）=（x²+x-a）e 

x

a

（a＞0）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x=-5时，f（x）取得极值，求函数f（x）在[m，m+1]（m≥-5）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求函数的导数，利用导数确定函数的单调区间．
（2）利用导数确定函数的极值，通过讨论确定函数在给定区间上的最小值．

解答：解：（1）f′(x)=

1

a

(x2+x-a)e

x

a

+(2x+1)e

x

a

=

1

a

x(x+1+2a)e

x

a

，
当a=1时，f'（x）=x（x+3）e^x．
解f'（x）＞0得x＞0或x＜-3，解f'（x）＜0得-3＜x＜0，
所以f（x）单调增区间为（-∞，-3）和（0，+∞），单调减区间为（-3，0），
（2）当x=-5时，f（x）取得极值，所以f′(-5)=

1

a

(-5)(-5+1+2a)e

-5

a

=0，解得a=2（经检验a=2符合题意）所以f′(x)=

1

2

x(x+5)e

x

2

．

x	（-∞，-5）	-5	（-5，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

所以函数f（x）在（-∞，-5），（0，+∞）递增，在（-5，0）递减
当-5≤m≤-1时，f（x）在[m，m+1]单调递减，fmin?(x)=f(m+1)=m(m+3)e

m+1

2

．
当-1＜m＜0时，m＜0＜m+1，
f（x）在[m，0]单调递减，在[0，m+1]单调递增，f_min?（x）=f（0）=-2，
当m≥0时，f（x）在[m，m+1]单调递增，fmin?(x)=f(m)=(m+2)(m-1)e

m

2

．
综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值fmin?(x)=

m(m+3)e m+1 2 ，-5≤m≤-1   -2，           -1＜m＜0 (m+2)(m-1)e m 2 ，m≥0

．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握函数的单调性，奇偶性和函数最值和单调性之间的关系，考查学生的运算能力，综合性较强．