Question

如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点，
（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B-PA-C的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，D为AC的中点， 所以AC⊥OD， 又PO⊥底面⊙O， AC底面⊙O， 所以AC⊥PO， 因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线， 所以AC⊥平面POD， 而AC平面PAC， 所以平面POD⊥平面PAC。 （Ⅱ）在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由（Ⅰ）知，平面POD⊥平面PAC， 所以OH⊥平面PAC， 又PA平面PAC，所以， 在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G， 连接HG，则有PA⊥平面OGH，从而PA⊥HG， 所以∠OGH是二面角B-PA-C的平面角， 在Rt△ODA中，， 在Rt△POD中，， 在Rt△POA中，， 在Rt△OHG中，， 所以， 故二面角B-PA-C的余弦值为。