Question

已知α为锐角，向量=（sinα，cosα），=（cos2α，sin2α），且
（1）求α的值．
（2）若，求向量与的夹角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据数量积的坐标运算公式，结合向量、互相垂直，得=sin3α=0，结合α为锐角，得3α=π，可得α=；
（2）由向量模的公式，可得向量、的模均为1，可得=（2+2）（2+2）=8，再计算出向量与的模都等于4，结合两个向量的夹角公式即可算出与的夹角的余弦值．
解答：解：（1）∵，=（sinα，cosα），=（cos2α，sin2α），
∴=sinαcos2α+cosαsin2α=0，即sin3α=0
∵α为锐角，得3α∈（0，）
∴3α=π，可得α=
（2）∵α=，得=（sinα，cosα）=（，），=（cos2α，sin2α）=（-，），
∴||=||=1，且=0
因此，=（2+2）（2+2）
=4+16+4=8
而且||==4，||==4
设向量与的夹角为θ，可得cosθ===
即向量与的夹角的余弦值为．
点评：本题给出两个向量含有三角函数的坐标形式，求它们的线性组合向量的夹角余弦之值，着重考查了平面向量数量积的运算、两角和的正弦函数公式和向量夹角公式等知识，属于基础题．