Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足，且对任意m，n∈N^*，有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足，试求{c_n}的通项公式并判断：是否存在正整数M，使得对任意n∈N^*，c_n≤c_M恒成立．
（3）若数列{d_n}满足，求证：当n≥2时，．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，对任意m，n∈N^*，有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n，取m=1，可得数列{a_n}，{b_n}分别为等比，等差数列，即可求出它们的通项公式；
（2）根据b_n求出c_n的通项公式，然后可判定数列{c_n}为递减数列，c_n的最大值为c₁，故存在M=1，使得对任意n∈N^*，c_n≤c₁恒成立；
（3）先求出d_n的通项公式，然后求出，而当n≥2时，，从而证得结论．
解答：解：（1）由已知，对任意m，n∈N^*，
有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
取m=1，得．
所以数列{a_n}，{b_n}分别为等比，等差数列．
∴     …（4分）
（2）由，
得．
∵．
∴数列{c_n}为递减数列，c_n的最大值为c₁．
故存在M=1，使得对任意n∈N^*，c_n≤c₁恒成立…（8分）
（3）∵-
∴
=
而当n≥2时，
∴…（13分）
点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及数列的单调性和取值范围等问题，属于中档题．