Question

如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．如图②，将△ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，连结BC、BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点．求证：

图①图②

(1)AE⊥BD；

(2)平面PEF⊥平面AECD.

 

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

【解析】(1)取AE中点M，连结BM、DM、DE.

∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，∴△ABE与△ADE都是等边三角形，∴BM⊥AE，DM⊥AE.∵BM∩DM＝M，BM，DM平面BDM，∴AE⊥平面BDM.∵BD平面BDM，∴AE⊥BD.

(2)连结CM交EF于点N，连结PN.

∵ME∥FC，且ME＝FC，∴四边形MECF是平行四边形，∴N是线段CM的中点．∵P是线段BC的中点，∴PN∥BM.∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD.∵PN平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD.