Question

19．直线y=m与y=2x-3及曲线y=x+e^x分别交于A、B两点，则AB的最小值为2．

Answer 1

分析 设A（x₁，a），B（x₂，a），则2x₁-3=x₂+e^x₂，表示出x₁，求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值

解答 解：设A（x₁，a），B（x₂，a），
则2x₁-3=x₂+e^x₂，
∴x₁=$\frac{1}{2}$（x₂+e^x₂+3），
∴|AB|=|x₂-x₁|=|$\frac{1}{2}$（x₂-e^x₂-3）|，
令y=$\frac{1}{2}$（x-e^x-3），
则y′=$\frac{1}{2}$（1-e^x），
∴函数在（0，+∞）上单调递减，在（-∞，0）上单调递增，
∴x=0时，函数y的最大值为-2，
即有|AB|的最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．