Question

设S_n=+…+.求证：不等式＜S_n＜对所有的正整数n都成立.

Answer 1

思路解析：由要证的不等式联想到两个公式：=1+2+…+n, =［1+3+…+(2n-1)+(2n+1)］,因此要对S_n中每一项进行适当的放缩，再求和.

证法一：一方面：S_n＞+…+=1+2+…+n=,另一方面：S_n＜++…+＜++…+=,所以＜S_n＜.

证法二：（数学归纳法）

（1）当n=1时，=1，S_n==，=2，所以＜S_n＜.

（2）假设n=k（k为正整数）时不等式成立,即＜S_k＜.

当n=k+1时，+＜S_k+＜

+

+＜S_k+1＜+

+(k+1)＜S_k+1＜+

＜S_k+1＜

 ＜S_k+1＜,

即当n=k+1时，不等式成立.

（1）和（2）知对所有的正整数n,有＜S_n＜.