Question

函数f（x）=

ax2               x≥0 (a2-1)eax    x＜0

在（-∞，+∞）上是单调函数的必要不充分条件是（　　）

A．a≤-3或 3 2 ≤a≤3	B．a≤1或a≥ 3
C．a≤-1或a≥ 3 2	D．a≤- 3 或1≤a≤3

Answer 1

函数f（x）=

ax2               x≥0 (a2-1)eax    x＜0

，为分段函数，
（1）当函数f（x）=

ax2               x≥0 (a2-1)eax    x＜0

在（-∞，+∞）上是单调增函数时，
当x≥0时，y=ax²为二次函数，图象是对称轴为y轴的抛物线，它为增函数时，有a＞0；
当x＜0时，f（x）=（a²-1）e^ax是增函数，它的导函数为f′（x）=a（a²-1）e^ax，
令f′（x）≥0得-1≤a≤0或a≥1，且（a²-1）e⁰≤0即-1≤a≤1，
∴综合得a=1；
（2）当函数f（x）=

ax2               x≥0 (a2-1)eax    x＜0

在（-∞，+∞）上是单调减函数时，
当x≥0时，y=ax²为二次函数，图象是对称轴为y轴的抛物线，它为减函数时，有a＜0；
当x＜0时，f（x）=（a²-1）e^ax是减函数，它的导函数为f′（x）=a（a²-1）e^ax，
令f′（x）≤0得
0≤a≤1或a≤-1，
且（a²-1）e⁰≥0即a≤-1或a≥1，
∴综合得a≤-1．
综上所述，函数f（x）=

ax2               x≥0 (a2-1)eax    x＜0

在（-∞，+∞）上是单调函数的充要条件是a≤-1或a=1，
∵选项D：“a≤-

3

或1≤a≤3”?a≤-1或a=1，反之不成立．
∴选项D：“a≤-

3

或1≤a≤3”是“f（x）在R上单调递增”的必要不充分条件．
故选D．