Question

5．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，M为AB边的中点，$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{MP}$（λ∈R）且$\overrightarrow{MP}$=$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|cosA}$+$\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|cosB}$，又已知|$\overrightarrow{CM}$|=$\frac{c}{2}$，则角C=90°．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合图形，化简$\overrightarrow{MP}$=$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|cosA}$+$\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|cosB}$，得出M为△ABC外接圆的圆心，AB为直径，C=90°．

解答 解：如图所示，
过点C作CO⊥AB，垂足为O，则：
cosA=$\frac{|\overrightarrow{AO}|}{|\overrightarrow{AC}|}$，cosB=$\frac{|\overrightarrow{BO}|}{|\overrightarrow{BC}|}$；
∴$\overrightarrow{MP}$=$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|cosA}$+$\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|cosB}$=$\frac{1}{|\overrightarrow{AO}|}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{|\overrightarrow{BO}|}$$\overrightarrow{CB}$；
又$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{MP}$（λ∈R），
∴λ≠0，
∴$\overrightarrow{MP}$=$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{λ}$（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$）=$\frac{1}{2λ}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{2λ}$$\overrightarrow{CB}$，
∴$\frac{1}{|\overrightarrow{AO}|}$=$\frac{1}{|\overrightarrow{BO}|}$，
即|$\overrightarrow{AO}$|=|$\overrightarrow{BO}$|；
∴O是边AB的中点，M与O重合；
又|$\overrightarrow{CM}$|=$\frac{c}{2}$，∴CM=AM=BM，
M为△ABC外接圆的圆心，AB为直径，
∴C=90°．
故答案为：90°．

点评 本题考查了平面向量的加法的几何意义以及直角三角形三边关系的应用问题，是综合性题目．