Question

已知抛物线y ²=2px及定点A（a，b），B（-a，0），（ab≠0，b ²≠2pa）．M是抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一交点分别为M₁，M₂．
求证：当M点在抛物线上变动时（只要M₁，M₂存在且M₁≠M₂），直线M₁M₂恒过一个定点．并求出这个定点的坐标．

Answer 1

证明：设M（

m2

2p

，m）．M₁（

m12

2p

，m₁），M₂（

m22

2p

，m₂），
则A、M、M₁共线，得

b-m

m1-m

=

a- m2 2p

m12 2p - m2 2p

，即b-m=

2pa-m2

m1+m

2pa-m2

m1+m

．
∴m₁=

2pa-bm

b-m

，同法得m₂=

2pa

m

；
∴M₁M₂所在直线方程为

y-m2

m1-m2

=

2pa-m22

m12-m22

，即（m₁+m₂）y=2px+m₁m₂．
消去m₁，m₂，得2paby-bm²y=2pbmx-2pm²x+4p²a²-2pabm．（1）
分别令m=0，1代入，得x=a，y=

2pa

b

，
以x=a，y=

2pa

b

代入方程（1）知此式恒成立．
即M₁M₂过定点（a，

2pa

b

）