Question

定义在R上的函数f(x)满足：

①对任意x，y∈R，都有f(x)＋f(y)=f(x＋y)；

②当x＜0时，有f(x)＜0．

(Ⅰ)根据函数奇偶性的定义，判断f(x)的奇偶性；

(Ⅱ)根据函数单调性的定义，判断f(x)的单调性；

(Ⅲ)若f(k·)＋f()＜0对任意x∈R恒成立；求实数k的取值范围．

（Ⅳ）求证：

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)因为对任意x，y∈R都有f(x)＋f(y)=f(x＋y) 　　∴f(0)＋f(0)=f(0) ∴f(0)=0． 　　又对任意x∈R，f(x)＋f(－x)=f(0)=0 　　∴f(－x)=－f(x) 　　所以f(x)是奇函数 　　(Ⅱ)设，则 　　 　　∵ ∴ 　　所以f(x)是增函数． 　　(Ⅲ)方法一： 　　由得 　　 　　由(Ⅱ)知f(x)是增函数，所以问题等价于 　　 　　即 对任意x∈R恒成立． 　　设 　　即u的最小值为，要使 　　对x∈R恒成立，当且仅当k＜－1． 　　所以实数k的取值范围是(－∞，－1)． 　　方法二： 　　由得 　　 　　由(Ⅱ)知f(x)是增函数，所以问题等价于 　　 　　即 对任意x∈R恒成立． 　　令t=＞0，就是－(1＋k)t＋2＞0 对任意t＞0恒成立． 　　令g(t)= 　　其图象的对称轴为． 　　当，即k＜－1时，g(0)=2＞0，符合题意； 　　当时，由 　　解得－1≤k＜－1 　　综上所述，k的取值范围是(－∞，－1)．    （Ⅳ）因为对任意x，y∈R都有f(x)＋f(y)=f(x＋y)     ∴     ∵f(x)是增函数．所以只需证明        下略。