Question

某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．
（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；
（2）怎样设计能使S取得最大值，最大值为多少？

Answer 1

解：（1）由已知xy=3000，2a+6=y，
则y=，（其中6≤x≤500）；
所以，运动场占地面积为S=（x-4）a+（x-6）a=（2x-10）a
=（2x-10）•=（x-5）（y-6）
=3030-6x-，（其中6≤x≤500）；
（2）占地面积S=3030-6x-=3030-（6x+）≤3030-2
=3030-2×300=2430；
当且仅当6x=，即x=50时，“=”成立，此时x=50，y=60，Smax=2430．
即设计x=50米，y=60米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．
分析：（1）总面积为xy=3000，且2a+6=y，则y=，（其中6≤x≤500）；所以，运动场占地面积为S=（x-4）a+（x-6）a，整理即得；
（2）由（1）知，占地面积S=3030-6x-=3030-（6x+），由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．
点评：本题以矩形的面积为函数模型，考查了列函数解析式，应用基本不等式求函数最值的问题，属于中档题目．