Question

已知函数f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）对于任意实数x，都有a^x＞0，进而可得函数解析式恒有意义，即可得到函数f（x）的定义域；由f（x）=1-

2

ax+1

，结合指数函数的值域利用分析法，可求出值域．
（2）任取实数x，判断f（-x）与f（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义，可判断此函数的奇偶性．
（3）任取实数x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义，可得答案．

解答：解：（1）∵?x∈R，都有a^x＞0，
∴a^x+1＞1，
故函数f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）的定义域为实数集R．
∵f（x）=

ax-1

ax+1

=1-

2

ax+1

，
而a^x＞0，
∴a^x+1＞1，
∴0＜

2

ax+1

＜2，
∴-2＜-

2

ax+1

＜0，
∴-1＜1-

2

ax+1

＜1．
即-1＜f（x）＜1．
∴函数f（x）的值域为（-1，1）．
（2）函数f（x）在实数集R上是奇函数．下面给出证明．
∵?x∈R，f（-x）=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-

ax-1

ax+1

=-f（x），
∴函数f（x）在实数集R上是奇函数．
（3）?x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

ax1+1

-（1-

2

ax2+1

）=

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

，
若a＞1，∴a^x₁+1＞0，a^x₂+1＞0，a^x₁-a^x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴当a＞1时，函数f（x）在实数集R上单调递增．
若0＜a＜1，∴a^x₁+1＞0，a^x₂+1＞0，a^x₁-a^x₂＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴当0＜a＜1时，函数f（x）在实数集R上单调递减．

点评：本题综合考查了函数的定义域、值域、奇偶性及单调性，熟练掌握以上知识及方法是解决问题的关键．