Question

某公司生产一产品的固定成本为20000元，每生产一件产品需增加投入100元．已知每月总收益p（x）=

400x- 1 2 x2       0≤x≤400 80000               x＞400

（其中x表示月产量）
（1）将月利润表示为x的函数f（x）；（利润=总收益-总成本）
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少？

Answer 1

分析：（1）根据利润=销售收入-成本，结合销售收入函数，可把得月利润表示为x的函数f（x）
（2）分段求出函数的最值，比较它们的大小，可得工厂的利润最大值．

解答：解：（1）根据利润=总收益-总成本，可得月利润f（x）=p（x）-100x-20000=

- 1 2 x2+300x-20000，0≤x≤400 60000-100x， x＞400

；
（2）当0≤x≤400时，f（x）=-

1

2

x²+300x-20000=-

1

2

（x-300）²+25000
∴x=300时，f（x）_max=25000，
当x＞400时，f（x）=60000-100x为减函数
∴f（x）＜60000-40000=20000
∴当年产量为300件时，工厂的利润最大，最大值为25000元．

点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，解题的关键是正确构建函数，确定函数的最值，属于中档题．