Question

如图，正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，E是AC中点．
（1）求证：平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）求证：AB₁∥平面BEC₁；
（3）若，求二面角E﹣BC₁﹣C的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵ABC﹣A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴AA₁⊥平面ABC，
∴BE⊥AA₁．
∵△ABC是正三角形，E是AC中点，
∴BE⊥AC，
∴BE⊥平面ACC₁A₁．
∴BE平面BEC₁
∴平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）证明：连B₁C，设BC₁∩B₁C=D．
∵ABC﹣A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴BCC₁B₁是矩形，D是B₁C的中点．
∵E是AC的中点，
∴AB₁∥DE．
∵DE平面BEC₁，AB₁平面BEC₁，
∴AB₁∥平面BEC₁．
（Ⅲ）解：作CF⊥BC₁于F，FG⊥BC₁于G；连CG．
∵平面BEC₁⊥平面ACC₁A，
∴CF⊥平面BEC₁
∴FG是CG在平面BEC₁上的射影．根据三垂线定理得，CG⊥BC₁．
∴∠CGF是二面角E﹣BC₁﹣C的平面角．
设AB=a，∵．
在Rt△ECC₁中，CF=
在Rt△BCC₁中，CG=．
在Rt△CFG中，∵，
∴∠CGF=45°．
∴二面角E﹣BC₁﹣C的大小是45°