Question

已知抛物线与坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为.

(1) 求实数的取值范围；

(2) 设抛物线与ｘ轴的交点从左到右分别为A、B，与ｙ轴的交点为C，求A、B、C三点的坐标；

(3) 设直线是抛物线在点A处的切线，试判断直线是否也是圆的切线？并说明理由.

Answer 1

(1) 或;(2),;(3) 直线不可能是圆的切线.

解析:

(1)∵抛物线与坐标轴有三个交点∴，否则抛物线与坐标轴只有两个交点，与题设不符,由知，抛物线与ｙ轴有一个非原点的交点，故抛物线与ｘ轴有两个不同的交点，即方程有两个不同的实根∴即

∴的取值范围是或.

(2)令ｘ＝０得，∴

令得解得

∴,;

(3)解法１：∵　∴

∴直线的斜率

∵圆过A、B、C三点，∴圆心M为线段AB与AC的垂直平分线的交点

∵AB的垂直平分线即抛物线的对称轴

∵线段AC的中点为直线AC的斜率

∴线段AC的垂直平分线方程为    ()

将代入()式解得，即

∴，若直线也是圆的切线，则

即解得这与或矛盾

∴直线不可能是圆的切线．

解法２：∵　∴,

∴直线的斜率,

设圆的方程为,

∵圆过,，

∴　解得,∴圆心

∴，若直线也是圆的切线，则

即解得,这与或矛盾.

∴直线不可能是圆的切线．