Question

如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．

(1)求证：PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE；

(2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．

Answer 1

答案：略
解析：

解　(1)设BD与AC交于点O，连OE， ∵ABCD是正方形， ∴O是AC的中点， ∴OE∥PA，OEÌ 平面BDE， ∴PA∥平面BDE； 连PO， ∵P－ABCD是正四棱锥， ∴PO⊥平面BD， ∴BD⊥PO，又BD⊥AC， ∴BD⊥面PAC，BDÌ 平面BDE． ∴平面PAC⊥平面BDE． (2)∵BD⊥平面PAC， ∴BD⊥OE，BD⊥OC， ∴∠EOC是二面角E-BD-C的平面角，∠EOC=30°，又正方形ABCD的边长为a，在Rt△POC中，，∠ECO=∠EOC=30°， ∴， ∴．