Question

在△ABC中，A（1，1），B（4，5），C（-1，1），则与角A的平分线共线且方向相同的单位向量为________．

Answer 1

分析：作D点（1，5），则△ADB为直角三角形，∠DAB=arctan，△CAD为直角三角形，∠CAD=，由∠CAB=∠CAD+∠DAB，知 tan∠CAB=-，设E在角平分线上，则∠CAE=∠CAB，设tan∠CAE=k，则-=，由此能求出该单位向量．
解答：作D点（1，5），则 ①△ADB为直角三角形
∴∠DAB=arctan，②△CAD为直角三角形
∴∠CAD=，
∵∠CAB=∠CAD+∠DAB
∴∠CAB=+arctan
∴tan∠CAB=-，
设E在角平分线上，则∠CAE=∠CAB，
设tan∠CAE=k，-=，
解之得 k=2 （另一解不合题意，舍去）
即，该角平分线的斜率为 tan（π-∠CAE）=-tan∠CAE=-2．
该向量与之共线且方向相同，
则设其为 （-a，2a），（其中a＞0）
又其为单位向量，
则（-a）²+（2a）²=1²
解之得 a==，（负值解不合所设，舍去）
则该单位向量为（-，）．
故答案为：（-，）．
点评：本题考查单位向量的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．