Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点。

（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（3）求点A到平面PCD的距离。

Answer 1

解：（1）在△PAD中PA=PD，O为AD中点， 所以PO⊥AD 又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD； （2）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC， 有OD∥BC且OD=BC， 所以四边形OBCD是平行四边形， 所以OB∥DC 由（1）知PO⊥OB，∠PBO为锐角， 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角 因为AD=2AB=2BC=2， 在Rt△AOB中，AB=1，AO=1， 所以OB=， 在Rt△POA中，因为AP=，AO=1， 所以OP=1， 在Rt△PBO中，PB=， cos∠PBO= 所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为。
（3）由（2）得CD=OB= 在Rt△POC中，PC= 所以PC=CD=DP，S△PCD=·2= 又S△ACD= 设点A到平面PCD的距离h， 由VP-ACD=VA-PCD，得 ·S△ACD·OP=S△PCD·h 得×1×1=××h 解得h=。