Question

已知函数f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[0，

π

4

]，求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用降幂公式与辅助角公式将f（x）化简为：f（x）=sin（2x+

π

3

），利用正弦函数的单调性质即可求得函数f（x）的单调递增区间；
（2）由x∈[0，

π

4

]，可求得2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，利用正弦函数的单调性即可求得函数f（x）的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=

3

（

1+cos2x

2

）+

1

2

sin2x-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x
=sin（2x+

π

3

）．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z；
（2）∵x∈[0，

π

4

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴当2x+

π

3

=

π

2

即x=

π

12

时f（x）_max=1，
当2x+

π

3

=

5π

6

即x=

π

4

时f（x）_min=

1

2

，
∴

1

2

≤f（x）≤1．

点评：本题考查三角函数的降幂公式与辅助角公式，考查正弦函数的单调性，考查分析与运算能力，属于中档题．