Question

在数列a_n中，已知a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2，n∈N^*，n≥2．
（1）求证：数列a_n+n是等比数列；     （2） 求数列{

an

2n

}的前n项和为S_n．

Answer 1

（1）∵a_n=2a_n-1+n-2，
∴a_n+n=2（a_n-1+n-1）    
∴数列{a_n+n}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）有（1）知：a_n+n=2ⁿ即：a_n=2ⁿ-n，
∴

an

2n

=1-

n

2n

∴Sn=(1-

1

2

)+(1-

2

22

)+(1-

3

23

)+…+(1-

n

2n

)=n-(

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

)
令Tn=

1

21

+

2

22

+

3

22

+…+

n

2n

①
则

1

2

Tn=

1

21

+(

1

22

+

1

23

+…+ 

1

2n

)-

n

2n+1

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

21

+(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

．
∴Tn=2-

1

2n+1

-

n

2n

，
∴Sn=n-2+

1

2n+1

+

n

2n

．