Question

已知圆为ΔABC的内切园，且BC中点为（1，-1），BC∥x轴。⑴求ΔABC顶点A的轨迹方程。⑵求|BC|的范围。⑶试问ΔABC的面积是否存在最小值？请证明你的判断。

Answer 1

(Ⅰ)  x+y=1(x<0)    (Ⅱ) （，+∞）   （Ⅲ）有最小值

解析:

⑴设A（m,n），过A的园的切线y-n=k(x-m)  即kx-y+n-km=0

则，即（m²-1）k²-2mnk+n²-1=0  Δ>0得m²+n²>1    ①

设此方程两解k₁=k_AB  k₂=k_AC  则    ②

另一方面BC：y=-1  由AB：y-n=k₁(x-m)    AC：y-n=k₂(x-m)

解得：

由于BC中点为（1，-1）,∴

即，把②代入得：

即：得m+n=1  由①及⊙O为ΔABC内切园知，A的轨迹方程为x+y=1(x<0)  （6分）

⑵由⑴知n>1,m<0 

   （8分）

∴BC的范围为（，+∞）      （10分）

⑶存在 易知，令t=n-1>0  n=t+1

  （12分）

证法1：再令，则  上增函数。

易知  ∴内恰有一解，设此解为x₀，即由是增函数，则为减函数。

是增函数。

存在最小值，即ΔABC面积有最小值。     （14分）

证法2：

易知为减函数。为增函数

有最小值，∴ΔABC面积有最小值