Question

在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）是否存在△面积的最大值，若存在，求出△的面积；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）的最大值为．

【解析】

试题分析：解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为 的椭圆．   3分

故曲线的方程为．                5分

（Ⅱ）存在△面积的最大值.                   6分

因为直线过点，可设直线的方程为 或（舍）．

则

整理得 ．            7分

由．

设．

解得 ，  ．

则 ．

因为

．       10分

设，，．

则在区间上为增函数．

所以．

所以，当且仅当时取等号，即．

所以的最大值为．

考点：直线与椭圆的位置关系

点评：解决的关键是根据直线与椭圆的联立方程组，结合韦达定理来表示三角形的面积，进而结合函数的最值得到，属于中档题。