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    （2012•福州模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
    （Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
    （Ⅱ）当PB取得最小值时，请解答以下问题：
    （i）求四棱锥P-BDEF的体积；
    （ii）若点Q满足
    AQ
    =λ
    QP
     （λ＞0），试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于
    π
    4
    ？并说明理由．
    分析：（Ⅰ）利用菱形ABCD的对角线互相垂直证明BD⊥AO，证明PO⊥平面ABFED，可得PO⊥BD，利用线面垂直的判定，可得BD⊥平面POA；
    （Ⅱ）建立空间直角坐标系O-xyz．（ⅰ）设AO∩BD=H，PO=x，则
    PB
    =
    OB
    -
    OP
    =（ 2
    		3
    -x，2，-x），从而确定PB的最小值，进而可得四棱锥P-BDEF的体积；
    （ⅱ）确定
    OQ
    的坐标，求出平面PBD的法向量
    n
    =(1，0，1)    ，利用向量的夹角公式可求直线OQ与平面PBD所成的角，从而可得结论成立．
    解答：（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
    ∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
    ∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
    ∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
    ∴PO⊥平面ABFED，
    ∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD．
    ∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
    （Ⅱ）如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．（5分）
    （ⅰ）设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，
    故BD=4，HB=2，HC=2
    		3
    ．
    又设PO=x，则OH=2
    		3
    -x，OA=4
    		3
    -x．
    所以O（0，0，0），P（0，0，x），B（2
    		3
    -x，2，0），
    故
    PB
    =
    OB
    -
    OP
    =（ 2
    		3
    -x，2，-x），（6分）
    所以|
    PB
    |=
    		2(x-
    		3
    )2+10
    ，
    ∴当x=
    		3
    时，|PB|min=
    		10
    ．
    此时PO=
    		3
    ，OH=
    		3
    （7分）
    由（Ⅰ）知，PO⊥平面ABFED，所以VP-BDEF=
    1
    3
    (
    		3
    4
    ×42-
    		3
    4
    ×22)×
    		3
    =3．（8分）
    （ⅱ）设点Q的坐标为（a，0，c），由（i）知，OP=
    		3
    ，则A（3
    		3
    ，0，0），B（
    		3
    ，2，0），D（
    		3
    ，-2，0），P（0，0，
    		3
    ）．
    所以
    AQ
    =(a-3
    		3
    ，0，c)，
    QP
    =(-a，0，
    		3
    -c)    ，（9分）
    ∵
    AQ
    =λ
    QP
     （λ＞0），
    ∴
    a-3
    		3
    =-λa
    c=
    		3
    λ-λc
    ，∴
    a=
    3
    		3
    λ+1
    c=
    		3
    λ
    λ+1
    ．
    ∴Q（
    3
    		3
    λ+1
    ，
    		3
    λ
    λ+1
    ），
    ∴
    OQ
    =（
    3
    		3
    λ+1
    ，0，
    		3
    λ
    λ+1
    ）．    （10分）
    设平面PBD的法向量为
    n
    =(x，y，z)    ，则
    n
    •
    PB
    =0，
    n
    •
    BD
    =0    ．
    ∵
    PB
    =(
    		3
    ，2，-
    		3
    )，
    BD
    =(0，-4，0)    ，∴
    		3
    x+2y-
    		3
    z=0
    -4y=0
    ，
    取x=1，解得：y=0，z=1，所以
    n
    =(1，0，1)    ．（11分）
    设直线OQ与平面PBD所成的角θ，
    ∴sinθ=|cos＜
    OQ
    ，
    n
    ＞    |=
    |3+λ|
    		2
    •
    		9+λ2
    =
    1
    		2
    ×
    		1+
    6λ
    9+λ2
    ．（12分）
    又∵λ＞0∴sinθ＞
    		2
    2
    ．（13分）
    ∵θ∈[0，
    π
    2
    ]，∴θ＞
    π
    4
    ．
    因此直线OQ与平面PBD所成角大于
    π
    4
    ，即结论成立． （14分）
    点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量是关键．
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    1
    8
    1
    8
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    		3
    2
    		3
    2
    ．

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    （Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
    （Ⅱ）记三棱锥P-ABD体积为V1，四棱锥P-BDEF体积为V2．求当PB取得最小值时的V1：V2值．

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