Question

如图，在四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE=BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）如果点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE．

Answer 1

证明：（1）因为BM⊥平面ACE，AE平面ACE，
所以BM⊥AE．
因为AE⊥BE，且BE∩BM=B，BE、BM平面EBC，
所以AE⊥平面EBC．
因为BC平面EBC，
所以AE⊥BC．
（2）取DE中点H，连接MH、AH．
因为BM⊥平面ACE，EC平面ACE，
所以BM⊥EC．
因为BE=BC，所以M为CE的中点．
所以MH为△EDC的中位线．所以MH∥ ，且MH= ．
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以DC∥AB，且DC=AB．
故MH∥ ，且MH= ．
因为N为AB中点，
所以MH∥AN，且MH=AN．
所以四边形ANMH为平行四边形，
所以MN∥AH．
因为MN平面ADE，AH平面ADE，
所以MN∥平面ADE．