Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，＋与a＝(3，－1)共线． (1) 求椭圆的离心率 (2) 设M为椭圆上任意一点，且＝λ＋μ(λ、μ∈R)，证明：λ2＋μ2为定值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：设椭圆方程为＋=1(a＞b＞0)，F(c，0)，则直线AB的方程为y=x－c，代入＋=1，化简得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2c2－a2b2=0．令A(x1，y1)，B(x2，y1)．则x1＋x2=，x1x2=．由＋=(x1＋x2，y1＋y2)，a=(3，－1)，＋与a共线，得3(y1十y2)＋(x1＋x2)=0．又y1=x1－c，y2=x2－c， 　　∴3(x1＋x2－2c)＋(x1＋x2)=0． 　　∴x1＋x2=．即=， 　　∴a2=3b2． 　　∴c==，故离心率e==．

(2)

由(1)知a2=3b2，所以椭圆方程＋=1可化为x2＋3y2=3b2． 　　设=(x，y)，由已知得(x，y)=λ(x1，y1)＋μ(x1，y2)， 　　∵M(x，y)在椭圆上， 　　∴(λx1＋μx2)2＋3(λy1＋μy2)2=3b2． 　　即λ2(＋)＋μ2(＋)＋2λμ·(x1x2＋3y1y2)=3b2．　① 　　由(1)知x1＋x2=，a2=c2，b2=c2． 　　∴x1x2==，x1x2＋3y1y2=x1x2＋3(x1－c)(x2－c)=c2－c2＋3c2=0． 　　又十=3b2，十=3b2，代入①得λ2＋μ2=1为定值． 　　点评：以解析几何知识为载体，以向量为工具，以考查圆锥曲线性质和向量有关公式、性质及应用为目标的平面向量与解析几何的交汇试题是近几年高考试题的一个热点．通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、长度等问题，应用这些条件时，通常是用向量的坐标运算把其转化为解析几何中的条件，使问题坐标化、代数化、符号化，从而应用代数运算来处理解析几何中的相关问题．其中，平面向量的数量积的坐标形式运算，两非零向量平行、垂直的充分条件，向量的夹角公式等都是常用到的知识．