Question

在数列中，，其中。

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）证明：存在，使得对任意均成立。

Answer 1

解法一：（1）

由此可猜想出数列的通项公式为

以下用数学归纳法证明：

①当时，，等式成立．

②假设当时等式成立，即

 那么

这就是说，当时等式也成立。

根据①和②可知，等式对任何都成立。

解法二：由

，可得

所以为等差数列，其公差为1，首项

为0，故，所以数列的通项

公式为。

（2）设  ①

   ②

当时，①式减去②式，得

 这时数列的前n项和为

当时，。这时数列的前项和

。

（3）通过分析，推测数列的第一项最大，

下面证明：  ③

由知，

要使③式成立，只要，

因为

所以③式成立。

因此，存在，使得对任意均成立。