Question

已知△ABC中∠BAC=60°，AC=1，AB=2，设点P、Q满足

AP

=λ

AB

，

AQ

=(1-λ)

AC

，λ∈R，若

BQ

•

CP

=-

5

4

，则λ=

1

2

或-

5

2

．

Answer 1

分析：由正弦定理可得C=90°，进而可得

AB

•

AC

=1，而由数量积的运算可得

BQ

•

CP

=（λ-1）-4λ+λ-λ²+1=-

5

4

，解这个关于λ的方程即可．

解答：解：在△ABC中∠BAC=60°，
故∠B=180°-（60°+∠C）=120°-∠C，
由正弦定理可得

1

sinB

=

2

sinC

，即sinC=2sinB，
故sinC=2sin（120°-C）=2（

3

2

cosC+

1

2

sinC）
=

3

cosC+sinC，解得cosC=0，故C=90°
∴

AB

•

AC

=2×1×

1

2

=1，
而

BQ

•

CP

=（

AQ

-

AB

）•（

AP

-

AC

）
=[(1-λ)

AC

-

AB

]•[λ

AB

-

AC

]
=（λ-1）

AC

2-λ

AB

2+[（1-λ）λ+1]

AB

•

AC

=（λ-1）-4λ+λ-λ²+1=-

5

4

，
整理可得4λ²+8λ-5=0，即（2λ+5）（2λ-1）=0，
解得λ=

1

2

或-

5

2

，
故答案为：

1

2

或-

5

2

点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及正弦定理和一元二次方程的解法，属中档题．