Question

设a_n=1+++…+ (n∈N⁺)，是否存在n的整式g(n),使得等式a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=g(n)(a_n-1)对于大于1的一切自然数n都成立？证明你的结论.

Answer 1

解析：假设g(n)存在，探索g（n）.

当n=2时，由a₁=g(2)(a₂-1),即1=g(2)(1+-1)解得：g(2)=2;

当n=3时，由a₁+a₂=g(3)(a₃-1),

即1+(1+)=g(3)(1++-1).

解得g(3)=3.

当n=4时，同样可解得g(4)=4,

由此猜想g(n)=n(n∈N,且n≥2).

下面用数学归纳法证明：

(1)当n=2时，a₁=1,g(2)(a₂-1)=2·=1,结论成立.

(2)假设n=k(k≥2)时，结论成立，即有

a₁+a₂+…+a_k-1=g(k)(a_k-1)=k(a_k-1)成立.

则n=k+1时，a₁+a₂+…+a_k-1+a_k=k(a_k-1)+a_k=(k+1)a_k-k=(k+1)a_k-(k+1)+1=(k+1)(a_k+ -1)=(k+1)(a_k+1-1),

这说明n=k+1时，结论也成立.

由（1）（2）知对于大于1的自然数n,存在g(n)=n,a₁+a₂+…+a_n-1=g(n)(a_n-1)恒成立.